Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras


¿Qué haremos aquí?

En este artículo vamos a explicar el famoso teorema de Pitágoras en forma sencilla, y contar también para qué sirve, y algo de su historia.

El teorema de Pitágoras sirve para averiguar la medida de un lado de un triángulo rectángulo, sabiendo la de los otros dos.

Lo que el teorema dice, es que en un triángulo que tenga un ángulo recto, la superficie de un cuadrado que uno hiciera a partir del lado que no toca al ángulo recto, va a ser igual a la suma de los cuadrados que uno hiciera a partir de los otros dos lados. Vamos a ilustrarlo:

fuente: Wikipedia

Lo explicaremos ahora de poco, para que todos puedan comprenderlo. Si te resulta muy simple, más abajo contamos sobre otros aspectos que te van a resultar interesantes. Pero ahora comenzamos explicando cada parte de lo que aquí se dice, te llevará muy poco tiempo leerlo y te será algo de gran utilidad.

Todos sabemos qué es un triángulo, pero por si hiciera falta, comentamos que un triángulo es una figura geométrica con tres lados y tres ángulos.

¿Qué es un ángulo recto?

Es un ángulo que mide 90 grados, es la medida más sencilla de identificar al ser entre otras cosas, la que tienen siempre los ángulos de un cuadrado o un rectángulo.

Fuente: Wikipedia

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Es un triángulo en el cual uno de sus ángulos mide 90 grados (tiene un ángulo rectángulo)

¿Qué es el cateto?

El cateto es cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, que toca al ángulo recto. Cada triángulo rectángulo tiene dos catetos

¿Qué es la hipotenusa?

La hipotenusa, es el lado de un triángulo rectángulo, que NO toca al ángulo recto. Cada triángulo rectángulo tiene UNA hipotenusa.

¿Qué es un número al cuadrado?

El cuadrado de un número, es el resultado de multiplicar a un número por si mismo. Lo podemos representar dibujando un cuadrado porque la superficie de un cuadrado es “lado x lado“, o sea, lado al cuadrado, o l2

¿Qúe es la raiz cuadrada de un número?

Es “lo contrario“ al número al cuadrado. Es el número que si se multiplica por si mismo, da nuevamente el número del que obtenemos la raiz cuadrada. Por ejemplo 3 x 3 = 9. Y la raiz cuadrada de 9 es 3.

Ahora si, explicamos el teorema


Sabiendo todo esto, te contamos que lo que este teorema viene a resolver es el problema de saber la medida de un lado (la hipotenusa), sabiendo la de los otros dos lados.

La fórmula se escribe de esta manera:

a2 + b2 = c2

Lo que nos quiere decir es que si sumanos el “cuadrado“ de cada uno de los “catetos“, obtenemos el cuadrado de la “hipotenusa“.

Por ejemplo, digamos que tenemos un triángulo cuyos dos catetos miden 3 y 4 centímetros.

32 =942= 169 + 16 =25

Entonces, el cuadrado de la hipotenusa en este caso, será 25. Haciendo la raíz cuadrada de 25, obtendremos el valor de la hipotenusa, que será de 5 centímetros. (de paso podemos entender porqué es importante aprender qué es una raiz cuadrada!)

Si en cambio supiéramos el valor de la hipotenusa y de uno de los catetos, la fórmula varía pero nos sigue permitiendo averiguar la medida del lado faltante. Lo que haremos para simplificar, es restar el lado mayor al cuadrado, menos el lado menor al cuadrado. Eso nos dará como resultado, el lado faltante al cuadrado.

Por ejemplo:
Hipotenusa: 5 cm
Cateto: 4 cm
Cateto faltante = b

52  42 = b225 16 =b29 = b2b = 9b =3

Siguiendo el mismo caso, si lo que ahora nos falta fuera el otro cateto:

Hipotenusa: 5 cm
Cateto: 3 cm
Cateto faltante = c

52  32 = c2 25  9 = c216 = c2c = 16   c = 4

Demostración

Aquí puedes ver en una forma gráfica y simple, que la cantidad de cuadrados que hay dentro del cuadrado más grande (25) es igual a la suma de los cuadrados más pequeños ( 9 + 16)

Ejercicios

Problema 1

triangulo teorema pitagoras

¿Cuál de cada lado de este triángulo son los catetos, y cual es la hipotenusa?

Ver Respuesta

Los catetos son los lados a y b, y la hipotenusa es el lado c

Problema 2

Si un cateto del triángulo mide 6 cm y el otro 8 cm, ¿Cuánto mide la hiponetusa?

Ver Respuesta

lado a = 6 cm

lado b = 8 cm

Aplicamos el teorema:

62 + 82 = x236 + 64 = x2x2 = 100100 = 10 

Respuesta: la hipotenusa mide 10 cm

¿Verdadero o falso?

ver


Falso

Es igual al cuadrado de la hipotenusa
La suma del cuadrado de los catetos es igual a la hipotenusa

ver


Verdadero


La hipotenusa es el lado del triángulo que NO toca al ángulo recto.

ver


Falso

Por favor vuelve a leer el post, donde te mostramos una práctica demostración del teorema.
El teorema de Pitágoras no puede demostrarse.

Quién fue Pitágoras

Pitágoras de Samos nació alrededor del año 570 a.C y se lo considera como el primer filósofo y matemático griego.

Se le atribuyen muchos descubrimientos importantes en ámbitos como la ciencia y la matemática, pero también en la astronomía, medicina y en la música.

Existen dudas sobre el verdadero origen del “teorema de Pitágoras” ya que dicen que fue utilizado por los indios y babilonios antes de su postulación. Además, viajaba mucho y su escuela era numerosa y de naturaleza secreta.


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