Descomposición de un número en factores primos

Te explicaremos aquí como descomponer un número en sus factores primos. Esta operación tiene varios usos, el más común es la simplificación de fracciones.

Para poder entender bien este tema, te convendrá comprender algunos conceptos que iremos aclarando en forma muy simple antes de ir al grano:

Conceptos

  • Números naturales: Son los números mayores a cero (positivos) y que no tienen decimales (enteros).
  • Números primos: Son los números naturales mayores a 1, que solo son divisibles por si mismos o por 1. Los que ahora precisaremos son los más chicos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. El tema es mucho más complejo pero por ahora te alcanzará con esto.
  • Números compuestos: Son los números naturales mayores a 1, que NO son primos, es decir, que son divisibles al menos por un número además del 1 de si mismos. Son números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, etc..
  • Factor y producto: En una multiplicación, los números que se multiplican son las factores, y el resultado es el producto.
  • descomposición factorial: es escribir un número como resultado (producto) de la multiplicación de otros (factores) Por ejemplo podemos descomponer al número 12 en 2 x 2 x 3

Al grano!

Ahora si, te enseñaremos dos métodos para descomponer números en sus factores primos.

Método 1: Divisiones sucesivas en tabla

Todo número entero mayor a 1, o es un número primo, o puede descomponerse como un producto (multiplicación) de números primos de forma única. Tan importante es esto que se lo llama “teorema fundamental de la aritmética”.

Aprovechando esto, se hará lo siguiente:

1 – Se escribe el número que queremos descomponer a la izquierda de una raya vertical. Tomaremos para este ejemplo al número 28:

2 – Se lo divide entre el menor número primo (2, 3, 5, 7, 11, etc..) posible por el cual sea divisible (se lo escribe a la derecha), y se anota el cociente (resultado) debajo del número del cual partimos.

3 – Se repite esta operación hasta llegar al cociente 1, y luego se extraen de la columna derecha los factores:

¡Listo! Se puede observar aquí que hemos dividido a 28 entre 2, lo cual dio como cociente 14. Dividimos entonces a 14 entre 2 y nos dio 7. El 7 es un número primo así que solo lo pudimos dividir por 7, con lo cual obtuvimos 1 como resultado (cociente) y con esto terminó la operación.

De aquí obtuvimos que 28 es igual a 2 x 2 x 7. Y lo expresamos en forma más corta diciendo que 28 =22 x 7 con lo cual finalizamos la operación.

Te mostramos otro ejemplo completo, factorizando al número 66:

Ejemplo 2

Y un ejemplo más buscando los factores primos de 130

Método 2: Árbol de factores

Este método suele ser más rápido que el anterior, pero a veces es menos prolijo y algo más complicado. Finalmente ambos métodos son igual de válidos.

Reglas para hacer un árbol de factores:

  • el número original NO puede ser un número primo, tiene que ser un número compuesto
  • nunca se puede escribir el número 1
  • cuando llegas a escribir números primos, estos ya no se factorizan.

Procedimiento con ejemplo

Tomaremos al número 32. Lo que se hace es un diagrama con flecha, poniendo debajo del número original, dos factores que al multiplicarlos den como resultado (producto) dicho número. Pueden haber una o más posibilidades, y cualquiera que de el resultado correcto, será válida:

En los casos donde los factores NO sean números primos, repetimos debajo el mismo procedimiento. En este caso, ni 8 ni 4 son números primos así que continuamos en ambos casos:

Aquí tenemos tres números primos (2, 2 y 2) y uno compuesto (4). Con los primos ya no hacemos nada, y con el compuesto, volvemos a factorizar:

Ahora si, todos los números de las ramas inferiores son primos, por lo cual el procedimiento ha finalizado y podemos extraer los factores:

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2, que también se expresa como 25

Prueba tu mismo este método con lápiz y papel y verás que es muy práctico. 

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