Algoritmo de Euclides

¿Qué es el algoritmo de Euclides?

El algoritmo de Euclides es un procedimiento creado por el matemático y geómetra griego Euclides que permite obtener el m.c.d. (máximo común divisor) de dos números. El procedimiento es particularmente útil para simplificar fracciones y en especial si los números de estas son grandes.

Refrescando conceptos

Partes de una división

Por las dudas refrescamos las partes de una división. Esto te ayudará a entender mejor lo que sigue:

Partes de una división

¿Qué es el m.c.d. (máximo común divisor)?

El m.c.d. es el número mayor entero (el número más grande sin decimales) que permite dividir en forma exacta (sin resto) a dos o más números.

Por ejemplo si los números fueran 30 y 40, los divisores posibles de ambos son 1, 2, 5 y 10. El mayor de ellos es 10, y entonces el m.c.d. es 10.

¿Cómo funciona el Algoritmo de Euclides?

 

 

Se divide el número mayor entre el menor
 

 

 Si la división es exacta (no tiene resto) entonces el divisor (y no el resultado/cociente de la división) será el m.c.d.
 

 

 Si la división tiene un resto dividimos el divisor entre el resto obtenido, repitiendo este paso hasta que la división sea exacta (el resto sea cero) El último divisor será el m.c.d.

Vamos a ver varios ejemplos que ilustran esto: en la siguiente imagen tienes cinco ejemplos, que se resuelven en 1 a 5 pasos. Hemos añadido flechas y círculos para que puedas ver cómo funciona este sistema en la práctica y comprobar sus resultados finales.

Observa cómo el divisor pasa como dividendo en el paso siguiente, y el resto como divisor. También marcamos los resultados finales, que es el último divisor, cuando el resto es igual a cero.

Simplificar fracciones utilizando el algoritmo de Euclides

El m.c.d es el número más alto entre el cual se puede dividir cada parte de una fracción para llegar a la fracción irreductible. Por lo tanto, efectuaremos esa operación y obtendremos como resultado la versión más simplificada posible de cada fracción. Vamos a verlo con los mismos ejemplos anteriores:

7218  

m.c.d. (72,18) = 4

72 / 18 = 4

18 / 18 = 1

Fracción irreductible = 41 que se expresa como 4 ya que 4 / 1 = 4


8118

m.c.d. (81,18) = 9

81 / 9 = 9

18 / 9 = 2

Fracción irreductible = 92 


8468

m.c.d.(84,68) = 4

84 / 4 = 21

68 / 4 = 17

Fracción irreductible = 2117


112118

m.c.d.(112,118) = 2

112 / 2 = 56

118 / 2 = 59

Fracción irreductible = 5659


624435

m.c.d. (624,435) = 3

624 / 3 = 208

435 / 3 = 145

Fracción irreductible = 208145

 

¿Quién fue Euclides?

Euclides fue un matemático y geómetra griego que vivió aproximadamente entre los años 325 y 265 a.C. Se lo considera “el padre de la geometría”.

Vivió en Alejandría, y hay dudas sobre si su obra pertenece realmente a él o a un equipo de matemáticos, eventualmente liderado por él.

Su obra “Elementos” es una de las producciones científicas más famosas e importantes del mundo en donde se resume todo el conocimiento matemático de su época. , y la “geometría de Euclides”

Sus estudios y postulados (axiomas) fueron la piedra fundamental de la geometría y aportaron a numerosos campos de conocimiento como la física, astronomía, química y diversas ingenierías.

Más información: https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides

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